История двоичной системы счисления. Что такое двоичная система счисления? Кто первым предложил двоичную систему счисления

В курсе информатики, вне зависимости, школьном или университетском, особое место уделяется такому понятию как системы счисления. Как правило, на него выделяют несколько уроков или практических занятий. Основная цель - не только усвоить основные понятия темы, изучить виды систем счисления, но и познакомиться с двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной арифметикой.

Что это значит?

Начнем с определения основного понятия. Как отмечает учебник "Информатика", система счисления - записи чисел, в которой используется специальный алфавит или определенный набор цифр.

В зависимости от того, меняется ли значение цифры от ее положения в числе, выделяют две: позиционную и непозиционную системы счисления.

В позиционных системах значение цифры меняется вместе с ее положением в числе. Так, если взять число 234, то цифра 4 в ней означает единицы, если же рассмотреть число 243, то тут она будет уже означать десятки, а не единицы.

В непозиционных системах значение цифры статично, вне зависимости от ее положения в числе. Наиболее яркий пример - палочковая система, где каждая единица обозначается с помощью черточки. Неважно, куда вы припишите палочку, значение числа измениться лишь на единицу.

Непозиционные системы

К непозиционным системам счисления относятся:

1. Единичная система, которая считается одной из первых. В ней вместо цифр использовались палочки. Чем их было больше, тем больше было значение числа. Встретить пример чисел, записанных таким образом, можно в фильмах, где речь идет о потерянных в море людях, заключенных, которые отмечают каждый день с помощью зарубок на камне или дереве.
2. Римская, в которой вместо цифр использовались латинские буквы. Используя их, можно записать любое число. При этом его значение определялось с помощью суммы и разницы цифр, из которых состояло число. Если слева от цифры находилось меньшее число, то левая цифра вычиталась из правой, а если справа цифра была меньше или равна цифре слева, то их значения суммировались. Например, число 11 записывалось как XI, а 9 - IX.
3. Буквенные, в которых числа обозначались с помощью алфавита того или иного языка. Одной из них считается славянская система, в которой ряд букв имел не только фонетическое, но и числовое значение.
4. в которой использовалось всего два обозначения для записи - клинья и стрелочки.
5. В Египте тоже использовались специальные символы для обозначения чисел. При записи числа каждый символ мог использоваться не более девяти раз.

Позиционные системы

Большое внимание уделяется в информатике позиционным системам счисления. К ним относятся следующие:

• двоичная;
• восьмеричная;
• десятичная;
• шестнадцатеричная;
• шестидесятеричная, используемая при счете времени (к примеру, в минуте - 60 секунд, в часе - 60 минут).

Каждая из них обладает своим алфавитом для записи, правилами перевода и выполнения арифметических операций.

Десятичная система

Данная система является для нас наиболее привычной. В ней используются цифры от 0 до 9 для записи чисел. Они также носят название арабских. В зависимости от положения цифры в числе, она может обозначать разные разряды - единицы, десятки, сотни, тысячи или миллионы. Ее мы пользуемся повсеместно, знаем основные правила, по которым производятся арифметические операции над числами.

Двоичная система

Одна из основных систем счисления в информатике - двоичная. Ее простота позволяет компьютеру производить громоздкие вычисления в несколько раз быстрее, нежели в десятичной системе.

Для записи чисел используется лишь две цифры - 0 и 1. При этом, в зависимости от положения 0 или 1 в числе, его значение будет меняться.

Изначально именно с помощью компьютеры получали всю необходимую информацию. При этом, единица означала наличие сигнала, передаваемого с помощью напряжения, а ноль - его отсутствие.

Восьмеричная система

Еще одна известная компьютерная система счисления, в которой применяются цифры от 0 до 7. Применялась в основном в тех областях знаний, которые связаны с цифровыми устройствами. Но в последнее время она употребляется значительно реже, так как на смену ей пришла шестнадцатеричная система счисления.

Двоично-десятичная система

Представление больших чисел в двоичной системе для человека - процесс довольно сложный. Для его упрощения была разработана Используется она обычно в электронных часах, калькуляторах. В данной системе из десятичной системы в двоичную преобразуется не все число, а каждая цифра переводится в соответствующий ей набор нулей и единиц в двоичной системе. Аналогично происходит и перевод из двоичной системы в десятичную. Каждая цифра, представленная в виде четырехзначного набора нулей и единиц, переводится в цифру десятичной системы счисления. В принципе, нет ничего сложного.

Для работы с числам в данном случае пригодится таблица систем счисления, в которой будет указано соответствие между цифрами и их двоичным кодом.

Шестнадцатеричная система

В последнее время все большую популярность приобретает в программировании и информатике система счисления шестнадцатеричная. В ней используются не только цифры от 0 до 9, но и ряд латинских букв - A, B, C, D, E, F.

При этом, каждая из букв имеет свое значение, так A=10, B=11, C=12 и так далее. Каждое число представляется в виде набора из четырех знаков: 001F.

Перевод чисел: из десятичной в двоичную

Перевод в системах счисления чисел происходит по определенным правилам. Наиболее часто встречается перевод из двоичной в десятичную систему и наоборот.

Для того, чтобы перевести число из десятичной системы в двоичную, необходимо последовательно делить его на основание системы счисления, то есть, число два. При этом, остаток от каждого деления необходимо фиксировать. Так будет происходить до тех пор, пока остаток от деления не будет меньше или равен единице. Проводить вычисления лучше всего в столбик. Затем полученные остатки от деления записываются в строку в обратном порядке.

Например, переведем число 9 в двоичную систему:

Делим 9, так как число не делится нацело, то берем число 8, остаток будет 9 - 1 = 1.

После деления 8 на 2 получаем 4. Снова делим его, так как число делится нацело - получаем в остатке 4 - 4 = 0.

Проводим ту же операцию с 2. В остатке получаем 0.

В итоге деления у нас получается 1.

Вне зависимости от итоговой системы счисления, перевод чисел из десятичной в любую другую будет происходить по принципу деления числа на основу позиционной системы.

Перевод чисел: из двоичной в десятичную

Довольно легко переводить числа и в десятичную систему счисления из двоичной. Для этого достаточно знать правила возведения чисел в степень. В данном случае, в степень двойки.

Алгоритм перевода следующий: каждую цифру из кода двоичного числа необходимо умножить на двойку, причем, первая двойка будет в степени m-1, вторая - m-2 и так далее, где m - количество цифр в коде. Затем сложить результаты сложения, получив целое число.

Для школьников этот алгоритм можно объяснить проще:

Для начала берем и записываем каждую цифру, умноженную на двойку, затем проставляем степень двойки с конца, начиная с нуля. Потом складываем полученное число.

Для примера разберем с вами полученное ранее число 1001, переведя его в десятичную систему, и заодно проверим правильность наших вычислений.

Выглядеть это будет следующим образом:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

При изучении данной темы удобно использовать таблицу со степенями двойки. Это существенно уменьшит количество времени, необходимое для проведения вычислений.

Другие варианты перевода

В некоторых случаях перевод может осуществляться между двоичной и восьмеричной системой счисления, двоичной и шестнадцатеричной. В таком случае можно пользоваться специальными таблицами или же запустить на компьютере приложение калькулятор, выбрав во вкладке вид вариант «Программист».

Арифметические операции

Вне зависимости от того, в каком виде представлено число, с ним можно проводить привычные для нас вычисления. Это может быть деление и умножение, вычитание и сложение в системе счисления, которую вы выбрали. Конечно, для каждой из них действуют свои правила.

Так для двоичной системы разработаны свои таблицы для каждой из операций. Такие же таблицы используются и в других позиционных системах.

Заучивать их необязательно - достаточно просто распечатать и иметь под рукой. Также можно воспользоваться калькулятором на ПК.

Одна из важнейших тем в информатике - система счисления. Знание этой темы, понимание алгоритмов перевода чисел из одной системы в другую - залог того, что вы сможете разобраться в более сложных темах, таких как алгоритмизация и программирование и сможете самостоятельно написать свою первую программу.

Системы счисления

Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные . Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами .

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой в качестве цифр используются латинские буквы:

Например, VI = 5 + 1 = 6, а IX = 10 - 1 = 9.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Место каждой цифры в числе называется позицией . Первая известная нам система, основанная на позиционном принципе - шестидесятeричная вавилонская. Цифры в ней были двух видов, одним из которых обозначались единицы, другим - десятки. Следы вавилонской системы сохранились до наших дней в способах измерения и записи величин углов и промежутков времени.

Однако наибольшую ценность для нас имеет индо-арабская десятичная система. Индийцы первыми использовали ноль для указания позиционной значимости величины в строке цифр. Эта система получила название десятичной , так как в ней десять цифр.

Для того чтобы лучше понять различие позиционной и непозиционной систем счисления, рассмотрим пример сравнения двух чисел. В позиционной системе счисления сравнение двух чисел происходит следующим образом: в рассматриваемых числах слева направо сравниваются цифры, стоящие в одинаковых позициях. Большая цифра соответствует большему значению числа. Например, для чисел 123 и 234, 1 меньше 2, поэтому число 234 больше, чем число 123. В непозиционной системе счисления это правило не действует. Примером этого может служить сравнение двух чисел IX и VI. Несмотря на то, что I меньше, чем V, число IX больше, чем число VI.

Основание системы счисления, в которой записано число, обычно обозначается нижним индексом. Например, 555 7 - число, записанное в семеричной системе счисления. Если число записано в десятичной системе, то основание, как правило, не указывается. Основание системы - это тоже число, и его мы будем указывать в обычной десятичной системе. Вообще, число x может быть представлено в системе с основанием p, как x=a n *p n +a n-1 *p n-1 + a 1 *p 1 +a 0 *p 0 , где a n ...a 0 - цифры в представлении данного числа. Так, например,

1035 10 =1*10 3 +0*10 2 +3*10 1 +5*10 0 ;

1010 2 = 1*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 10.

Наибольший интерес при работе на ЭВМ представляют системы счисления с основаниями 2, 8 и 16. Вообще говоря, этих систем счисления обычно хватает для полноценной работы как человека, так и вычислительной машины. Однако иногда в силу различных обстоятельств все-таки приходится обращаться к другим системам счисления, например к троичной, семеричной или системе счисления по основанию 32.

Для того чтобы нормально оперировать с числами, записанными в таких нетрадиционных системах, важно понимать, что принципиально они ничем не отличаются от привычной нам десятичной. Сложение, вычитание, умножение в них осуществляется по одной и той же схеме.

Почему же мы не пользуемся другими системами счисления? В основном потому, что в повседневной жизни мы привыкли пользоваться десятичной системой счисления, и нам не требуется никакая другая. В вычислительных же машинах используется двоичная система счисления , так как оперировать над числами, записанными в двоичном виде, довольно просто.

Часто в информатике используют шестнадцатеричную систему, так как запись чисел в ней значительно короче записи чисел в двоичной системе. Может возникнуть вопрос: почему бы не использовать для записи очень больших чисел систему счисления, например по основанию 50? Для такой системы счисления необходимы 10 обычных цифр плюс 40 знаков, которые соответствовали бы числам от 10 до 49 и вряд ли кому-нибудь понравится работать с этими сорока знаками. Поэтому в реальной жизни системы счисления по основанию, большему 16, практически не используются.

Двоичная система счисления

Люди предпочитают десятичную систему , вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам. Но, не всегда и не везде люди пользовались десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время применялась пятеричная система счисления. В ЭВМ используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими:

для ее реализации используются технические элементы с двумя возможными состояниями (есть ток - нет тока, намагничен - ненамагничен);

представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво ;

возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

двоичная арифметика проще десятичной (двоичные таблицы сложения и умножения предельно просты).

В двоичной системе счисления всего две цифры, называемые двоичными (binary digits ). Сокращение этого наименования привело к появлению термина бит , ставшего названием разряда двоичного числа. Веса разрядов в двоичной системе изменяются по степеням двойки. Поскольку вес каждого разряда умножается либо на 0, либо на 1, то в результате значение числа определяется как сумма соответствующих значений степеней двойки. Если какой-либо разряд двоичного числа равен 1, то он называется значащим разрядом. Запись числа в двоичном виде намного длиннее записи в десятичной системе счисления .

Арифметические действия, выполняемые в двоичной системе, подчиняются тем же правилам, что и в десятичной системе. Только в двоичной системе перенос единиц в старший разряд возникает чаще, чем в десятичной. Вот как выглядит таблица сложения в двоичной системе:

Рассмотрим подробнее, как происходит процесс умножения двоичных чисел. Пусть надо умножить число 1101 на 101 (оба числа в двоичной системе счисления ). Машина делает это следующим образом: она берет число 1101 и, если первый элемент второго множителя равен 1, то она заносит его в сумму. Затем сдвигает число 1101 влево на одну позицию, получая тем самым 11010, и если, второй элемент второго множителя равен единице, то тоже заносит его в сумму. Если элемент второго множителя равен нулю, то сумма не изменяется.

Двоичное деление основано на методе, знакомом вам по десятичному делению, т. е. сводится к выполнению операций умножения и вычитания. Выполнение основной процедуры - выбор числа, кратного делителю и предназначенного для уменьшения делимого , здесь проще, так как таким числом могут быть только либо 0, либо сам делитель.

Следует отметить, что большинство калькуляторов, реализованных на ЭВМ (в том числе и KCalc) позволяют осуществлять работу в системах счисления с основаниями 2, 8, 16 и, конечно, 10.

8-ная и 16-ная системы счисления

При наладке аппаратных средств ЭВМ или создании новой программы возникает необходимость "заглянуть внутрь" памяти машины, чтобы оценить ее текущее состояние. Но там все заполнено длинными последовательностями нулей и единиц двоичных чисел. Эти последовательности очень неудобны для восприятия человеком, привыкшим к более короткой записи десятичных чисел. Кроме того, естественные возможности человеческого мышления не позволяют оценить быстро и точно величину числа, представленного, например, комбинацией из 16 нулей и единиц.

Для облегчения восприятия двоичного числа решили разбивать его на группы разрядов, например, по три или четыре разряда. Эта идея оказалась очень удачной, так как последовательность из трех бит имеет 8 комбинаций, а последовательность из 4 бит - 16. Числа 8 и 16 являются степенями двойки, поэтому легко находить соответствие с двоичными числами. Развивая эту идею, пришли к выводу, что группы разрядов можно закодировать, сократив при этом длину последовательности знаков. Для кодировки трех битов требуется восемь цифр, поэтому взяли цифры от 0 до 7 десятичнойсистемы . Для кодировки же четырех битов необходимо шестнадцать знаков; для этого взяли 10 цифр десятичной системы и 6 букв латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Полученные системы, имеющие основания 8 и 16, назвали соответственно восьмеричной и шестнадцатеричной.

В восьмеричной (octal ) системе счисления используются восемь различных цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Основание системы - 8. При записи отрицательных чисел перед последовательностью цифр ставят знак минус. Сложение, вычитание, умножение и деление чисел, представленных в восьмеричной системе, выполняются весьма просто подобно тому, как это делают в общеизвестной десятичной системе счисления.

В шестнадцатеричной (hexadecimal ) системе счисления применяется десять различных цифр и шесть первых букв латинского алфавита. При записи отрицательных чисел слева от последовательности цифр ставят знак минус. Для того чтобы при написании компьютерных программ отличить числа, записанные в шестнадцатеричной системе, от других, перед числом ставят 0x. То есть 0x11 и 11 - это разные числа. В других случаях можно указать основание системы счисления нижним индексом.

Шестнадцатеричная система счисления широко используется при задании различных оттенков цвета при кодировании графической информации (модель RGB). Так, в редакторе гипертекста Netscape Composer можно задавать цвета для фона или текста как в десятичной, так и шестнадцатеричной системах счисления.

Впервые позиционная система счисления возникла в древнем Вавилоне. В Индии система работает в виде

позиционной десятичной нумерации с использованием нуля, у индусов данную систему чисел

позаимствовала арабская нация, у них, в свою очередь, взяли европейцы. В Европе эту систему стали

называть арабской.

Позиционная система — значение всех цифр зависит от позиции (разряда) данной цифры в числе.

Примеры, стандартная 10-я система счисления - это позиционная система. Допустим дано число 453.

Цифра 4 обозначает сотни и соответствует числу 400, 5 — кол-во десятков и соответствует значению 50,

а 3 — единицы и значению 3. Легко заметить, что с увеличением разряда увеличивается значение.

Таким образом, заданное число запишем в виде суммы 400+50+3=453.

Двоичная система счисления.

Здесь только 2 цифры - это 0 и 1. Основание двоичной системы - число 2.

Цифра, которая находится с самого края справа, указывает количество единиц, вторая цифра -

Во всех разрядах возможна лишь одна цифра — или нуль, или единица.

С помощью двоичной системы счисления возможно закодировать всякое натуральное число, представив

это число в виде последовательности нулей и единиц.

Пример: 10112 = 1*2 3 + 0*2*2+1*2 1 +1*2 0 =1*8 + 1*2+1=1110

Двоичную систему счисления, как и десятичную систему счисления , зачастую используют в вычислительной

технике. Текст и числа компьютер хранит в своей памяти в двоичном коде и программным способом преобразует

в изображение на экране.

Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел.

Таблица сложения в двоичной системе счисления:

Таблица вычитания в двоичной системе счисления:

Пример сложения «столбиком» (14 10 + 5 10 = 19 10 или 1110 2 + 101 2 = 10011 2):

Таблица умножения в двоичной системе счисления:

Пример умножения «столбиком» (14 10 * 5 10 = 70 10 или 1110 2 * 101 2 = 1000110 2):

Преобразование чисел в двоичной системе счисления.

Для преобразования из двоичной системы в десятичную пользуются следующей таблицей степеней

основания 2:

Начиная с цифры один каждая цифра умножается на 2. Точка, стоящая после 1, называют двоичной точкой .

Преобразование двоичных чисел в десятичные.

Пусть, есть двоичное число 110001 2 . Для перевода в десятичное записываем его в виде суммы по

разрядам следующим образом:

1 * 2 5 + 1 * 2 4 + 0 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 49

Немного по другому:

1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49

Также хорошо записывать расчет как таблицу:

Двигаемся справа налево. Под всеми двоичными единицами записываем её эквивалент строчкой ниже.

Преобразование дробных двоичных чисел в десятичные.

Задание: перевести число 1011010, 101 2 в десятичную систему.

Записываем заданное число в таком виде:

1*2 6 +0*2 5 +1*2 4 +1*2 3 +0 *2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0 + 1 * 2 -1 + 0 * 2 -2 + 1 * 2 -3 = 90,625

Другой вариант записи:

1*64+0*32+1*16+1*8+0*4+1*2+0*1+1*0,5+0*0,25+1*0,125 = 90,625

Либо в виде таблицы:

Преобразование десятичных чисел в двоичные.

Пусть, необходимо перевести число 19 в двоичное. Можем сдеать это таким образом:

19 /2 = 9 с остатком 1

9 /2 = 4 c остатком 1

4 /2 = 2 без остатка 0

2 /2 = 1 без остатка 0

1 /2 = 0 с остатком 1

То есть, каждое частное делится на 2 и записывается остаток в конец двоичной записи. Деление

продолжается до того момента, когда в частном не будет нуля. Итог пишем справа налево. Т.е. нижняя

цифра (1) будет крайней левой и так далее. Итак, у нас получилось число 19 в двоичной записи: 10011.

Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные.

Когда в заданном числе присутствует целая часть, то ее преобразуют отдельно от дробной. Перевод

дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную происходит следующим образом:

• Дробь умножается на основание двоичной системы счисления (2);

• В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве старшего

разряда числа в двоичной системе счисления;

• Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если

достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются над

дробной частью произведения.

Пример : Нужно перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.

Переведя целую часть, получаем 206 10 =11001110 2 . Дробная часть 0,116 умножается на основание 2,

заносим целые части произведения в разряды после запятой:

0,116 . 2 = 0,232

0,232 . 2 = 0,464

0,464 . 2 = 0,928

0,928 . 2 = 1,856

0,856 . 2 = 1,712

0,712 . 2 = 1,424

0,424 . 2 = 0,848

0,848 . 2 = 1,696

0,696 . 2 = 1,392

0,392 . 2 = 0,784

Результат: 206,116 10 ≈ 11001110,0001110110 2

Алгоритм перевода чисел из одной системы счисления в другую.

1. Из десятичной системы счисления:

• делим число на основание переводимой системы счисления;

• находим остаток от деления целой части числа;

• записываем все остатки от деления в обратном порядке;

2. Из двоичной системы счисления:

• для перевода в десятичную систему счисления находим сумму произведений основания 2 на

соответствующую степень разряда;

Части статьи мы с вами разбирали двоичную систему счисления. Ну что же, думаю продолжим;-). Что же такое все таки бит? Что же он из себя представляет? Как Вы поняли, бит – это один знак в двоичной системе счисления. С помощью одного бита мы можем зашифровать две информации: ДА или НЕТ . Помните нашего человечка из первой статьи с варежками из мамонта? Его одна рука – это один бит. С помощью этой руки он может показать две информации: ДА или НЕТ. Рука поднята вверх – ДА, рука опущена – НЕТ. Еще раз повторюсь, в электронике за слово “ДА” принимают единичку, за слово “НЕТ” – нолик, то есть ДА=1, НЕТ=0, сигнал есть – 1, сигнала нет – 0.

А сколько же информации можно показать с помощью двух бит? Два бита – это два знака вместе в двоичной системе счисления. Пусть у нашего человечка обе руки свободны. Какие комбинации рук он может применить?

1)Подняты сразу две руки

2) Поднята правая рука, левая опущена

3) Поднята левая рука, правая опущена

4) Опущены обе руки

Кто придумает еще комбинацию, сразу же сделаю админом “Практической электроники” пожизненно:-). Больше комбинаций НЕТ! Это значит, что с помощью двух рук (двух битов) мы можем закодить 4 информации. Помните еще пример с первой статьи?

бар – это 1, дом – 0, пиво – 1, водка – 0.

1) Сидим в баре, пьем пиво (11)

2) Сидим в баре, пьем водку (10)

3) Сидим дома, пьем пиво (01)

4) Сидим дома, пьем водку (00)

В этом примере с помощью двух битов мы закодировали 4 информации. 11 или 10 и тд. – это двух битная запись информации.

А сколько информации можно закодировать, используя три бита? Можно получить 8 информаций. Опять же пример из первой части:

1) Сидим в баре, пьем пиво без Вована (110)

2) Сидим в баре, пьем водку без Вована (100)

3) Сидим дома, пьем пиво без Вована (010)

4) Сидим дома, пьем водку без Вована (000)

5) Сидим в баре, пьем пиво с Вованом (111)

6) Сидим в баре, пьем водку с Вованом (101)

7) Сидим дома, пьем пиво с Вованом (011)

8) Сидим дома, пьем водку с Вованом (001)

111, 011, 010 и тд – это трех битная запись информации.

А если использовать 4 бита информации? Получаем из примера прошлой же статьи:

1) Сидим в баре, пьем пиво без Вована, смотрим хоккей (1101)

2) Сидим в баре, пьем водку без Вована, смотрим хоккей (1001)

3) Сидим дома, пьем пиво без Вована, смотрим хоккей (0101)

4) Сидим дома, пьем водку без Вована, смотрим хоккей (0001)

5) Сидим в баре, пьем пиво с Вованом, смотрим хоккей (1111)

6) Сидим в баре, пьем водку с Вованом, смотрим хоккей (1011)

7) Сидим дома, пьем пиво с Вованом, смотрим хоккей (0111)

8) Сидим дома, пьем водку с Вованом, смотрим хоккей (0011)

9) Сидим в баре, пьем пиво без Вована, смотрим футбол (1100)

10) Сидим в баре, пьем водку без Вована, смотрим футбол (1000)

11) Сидим дома, пьем пиво без Вована, смотрим футбол (0100)

12) Сидим дома, пьем водку без Вована, смотрим футбол (0000)

13) Сидим в баре, пьем пиво с Вованом, смотрим футбол (1110)

14) Сидим в баре, пьем водку с Вованом, смотрим футбол (1010)

15) Сидим дома, пьем пиво с Вованом, смотрим футбол (0110)

16) Сидим дома, пьем водку с Вованом, смотрим футбол (0010)

Формула возможных вариантов

В этом примере с помощью четырех бит мы смогли закодировать 16 информаций. А что будет если использовать пять бит? Сколько информации мы можем закодировать? Неужели нам придется опять перебирать варианты? Ну уж нет! Для этого есть простая формула.

Возможные варианты информаций= 2 N , где N – количество битов

Предположим, мы используем два бита, следовательно, мы можем закодировать 2 2 =2х2=4 информаций, то есть 4 возможных варианта, если же используем три бита, то 2 3 =2х2х2=8, значит 8 информаций мы можем закодировать с помощью трех битов и тд. Нетрудно посчитать, что с помощью пяти битов можно закодировать 2 5 =2х2х2х2х2=32. Все просто, не правда ли? А сколько информаций мы можем закодировать, если использовать 8 бит? Итак, 2 8 =2х2х2х2х2х2х2х2=256 информаций! Неплохо! Короче говоря, если наш воин, который носит варежки из мамонта, имел бы восемь рук, он смог бы показать с помощью них 256 всех комбинаций, и если бы они договорились, что какая-то комбинация – это столько то убитых человечков. :-). Жесть))) Кстати, как Вы прочитали из прошлой статьи, 8 бит = 1 Байт. Например, информация с кодом 1011 0111 (пробел между группами из 4 битов ставится для удобства) – это восемь бит или просто Байт .

Перевод из одной системы в другую с помощью калькулятора

Давайте вернемся к нашей десятичной системе счисления. Если Вы помните, к десятичной системе мы относим циферки от 0 и до 9. А Вы знаете, что с помощью нехитрых вычислений, мы можем переводить информацию из одной системы счисления в другую? В вашей Винде есть одна нехитрая программка, на которую вы почти не обращаете внимание – это калькулятор;-), с помощью которого можно легко переводить числа из десятичной в двоичную систему и наоборот.

Нажимаем в меню панели “Вид” —->”Программист” и у нас получается вот такой прикольный калькулятор.

Теперь самое простое, нажимаем маркер на “Dec” и для аккуратного вида на “1 байт”. Пишем число в калькуляторе и смотрим на его двоичный код.

В данном примере я посмотрел, как запишется число “8” в двоичной системе счисления. Вуаля! А вот снизу под восьмеркой сразу и результат: 1000. Именно так запишется число “8” из десятичной системы счисления в двоичную.

Также калькулятор может переводить даже отрицательные числа из десятичной в двоичную систему. А вот число “-5” из десятичной системы в двоичной запишется, как 1111 1011 .

Кто-то из Вас может похвастаться: “Да я сам могу переводить числа из десятичной в двоичную на листочке бумаги”. Но, Вам это надо, когда есть такой замечательный калькулятор? ;-)

Двоично-десятичная система счисления

Трудно все это, не правда ли? Чтобы облегчить жизнь, была придумана двоично-десятичная система счисления . Эта система, думаю, проще некуда! Например, число “123” из десятичной системы нам надо представить в двоично-десятичную. Каждую цифру пишем в двоичном четырехбитном коде. Используем калькулятор. Число 1 в десятичной системе – это 0001, число 2 – 0010, а 3 – 0011. Итак, число “123”, записанное в двоично-десятичной системе счисления запишется, как 0001 0010 0011. Ну реально, проще некуда!

Счисления - вторая по распространенности после привычной всем десятичной, хотя мало кто об этом задумывается. Причина такой востребованности в том, что именно она используется в Об этом поговорим позже, а для начала - пара слов о том, вообще система счисления.

Этим словосочетанием обозначают систему записи или другого визуального представления чисел. Это сухое определение. К сожалению, не все понимают, что скрывается за этими словами. Однако все достаточно просто, и первая система счисления появилась тогда же, когда человек научился считать. Самый простой способ представление чисел - это отождествление одних предметов с другими, ну вот хотя бы пальцев на руках и количества плодов, собранных за определенное время. Однако пальцев на руках значительно меньше, чем может быть исчисляемых предметов. Их стали заменять палочками или черточками на песке или камне. Это и была самая первая система счисления, хотя само понятие появилось значительно позже. Она носит название непозиционная, потому что каждая цифра в ней имеет строго определенное значение, вне зависимости от того, какую позицию в записи она занимает.

Но такая запись крайне неудобна, и позже пришла идея группировать предметы и каждую группу обозначать камнем, а не палочкой, ну или рисунком другой формы при записи. Это был первый шаг к созданию позиционных систем, к которым относится и двоичная система счисления. Однако окончательно они сформировались только после изобретения цифр. В силу того, что считать изначально людям было удобнее на пальцах, которых у нормального человека 10, именно десятичная система и стала наиболее распространенной. В распоряжении человека, использующего эту систему цифры, от 0 до 9. Соответственно, когда при счете человек доходит до 9, то есть исчерпывает запас цифр, он пишет единицу в следующий разряд, а единицы обнуляет. И в этом кроется суть позиционных систем счисления: значение цифр в числе напрямую зависит от того, какую позицию она занимает.

Двоичная система счисления предоставляет для расчётов только две цифры, легко догадаться, что это 0 и 1. Соответственно, новые разряды при записи появляются в этом случае гораздо чаще: первый переход регистра происходит уже на числе 2, именно оно двоичной системе обозначается как 10.

Очевидно, что на письме эта система также не слишком удобна, отчего же она так востребована? Все дело в том, что при построении вычислительных машин десятичная система оказалась крайне неудобной и невыгодной, так как производство устройства, имеющего десять различных состояний, довольно дорого, да и занимают они очень много места. Вот и взяли на вооружение придуманную еще инками двоичную систему.

Перевод в двоичную систему счисления вряд ли вызовет у кого-то затруднения. Самый простой и понятный способ сделать это - деление числа на два, до тех пор, пока в ответе не получится ноль. При этом остатки записываются отдельно справа налево последовательно. Рассмотрим на примере, возьмем число 73: 73\2 = 36 и 1 в остатке, единицы записываем в крайнем правом положении, все дальнейшие остатки записываем левее этой единицы. Если вы все сделали правильно, то у вас должно было получиться следующее число: 1001001.

Как же перевод числа в двоичную систему счисления осуществляет компьютер, ведь с клавиатуры мы вводим ему десятичные числа? Неужели также делит на 2? Естественно, нет. Каждой кнопке на клавиатуре соответствует определенная строка в таблице кодировок. Мы наживаем кнопку, программа, называемая драйвер, передает процессору определенную последовательность сигналов. Тот в свою очередь передает запрос в таблицу, какой символ соответствует этой последовательности, и выводит этот символ на экран, или же производит действие, если это необходимо.

Теперь вы знаете, какое значение в нашей жизни имеет двоичная система счисления. Ведь очень многое в нашем мире сейчас делается при помощи электронных вычислительных систем, которые, в свою очередь, были бы совершенно другими, если бы не было этой системы.